Question

在下列命題中：
①函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）的最小值為2

a

；
②已知定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數(shù)；
③定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f（1）+f（4）+f（7）=0；
④已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（d≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的必要不充分條件；
⑤已知函數(shù)f（x）=x-sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號為

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，由函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0），知a≤0時，在f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，不存在最小值，可判斷①；
②，利用函數(shù)的對稱性與周期性可得到f（-x）=f（x），從而可判斷②；
③，依題意可求得f（4）=0；f（7）=f（-1）=-f（1），從而可判斷③；
④，利用導(dǎo)數(shù)法及充分必要條件的概念可判斷④；
⑤，易求f′（x）=1-cosx≥0，可得f（x）=x-sinx為R上的增函數(shù)，進(jìn)一步可知，f（x）為R上的為奇函數(shù)，從而可判斷⑤．

解答： 解：①，函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）中，
當(dāng)a≤0時，在f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，不存在最小值，故①錯誤；
②，∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），又f（x）為定義在R上周期為4的函數(shù)，
∴f（x）=f（4-x）=f（-x），
∴f（x）為偶函數(shù)，故②正確；
③，∵定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（4）=f（0）=0；f（7）=f（8-1）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）+f（4）+f（7）=f（1）+0-f（1）=0，故③正確；
④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
要使y=f（x）有極值，則方程3ax²+2bx+c=0（a≠0）有兩異根，
∴△=4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0；
當(dāng)a+b+c=0（a≠0）時，b=-（a+c），b²-3ac=（a+c）²-3ac=a²+c²-ac=（a-

c

2

）²+

3

4

c²＞0，充分性成立，反之不然；
∴a+b+c=0是f（x）有極值的充分不必要條件，故④錯誤；
⑤，∵f（x）=x-sinx，
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx為R上的增函數(shù)，
又f（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x），
∴f（x）=x-sinx為R上的奇函數(shù)；
∴若a+b＞0，即a＞-b時，f（a）＞f（-b=-f（b），
∴f（a）+f（b）＞0，故⑤正確．
綜上所述，正確的命題序號為：②③⑤．
故答案為：②③⑤

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)法判定極值及充分必要條件概念及其應(yīng)用，屬于中檔題．