Question

11．（1）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}}）（{c+\frac{1}{c}}）≥\frac{1000}{27}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)柯西不等式即可得出3（a²+b²+c²）≥1，并且可確定a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號，這便求出了a²+b²+c²的最小值；
（2）左邊展開由不等式$a+b+c≥3\root{3}{abc}$即可得出左邊$≥（\root{3}{abc}+\frac{1}{\root{3}{abc}}）^{3}$，然后可構(gòu)造函數(shù)$f（x）=（x+\frac{1}{x}）^{3}$（$x∈（0，\frac{1}{3}]$），通過求導判斷單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的最小值，進而得出$（x+\frac{1}{x}）^{3}≥\frac{1000}{27}$，從而該題得證．

解答 解：（1）由柯西不等式，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，當且僅當$a=b=c=\frac{1}{3}$時等號成立；
∴a²+b²+c²的最小值為$\frac{1}{3}$；
（2）證明：左邊=$abc+（\frac{bc}{a}+\frac{ac}+\frac{ab}{c}）+（\frac{c}{ab}+\frac{ac}+\frac{a}{bc}）+\frac{1}{abc}$
≥$abc+\frac{1}{abc}+3\root{3}{abc}+\frac{3}{{\root{3}{abc}}}$
=${（\root{3}{abc}+\frac{1}{{\root{3}{abc}}}）^3}$，構(gòu)造函數(shù)$f（x）={（{x+\frac{1}{x}}）^3}$$（{x∈（0，\frac{1}{3}]}）$，則：
${f^'}（x）=3{（x+\frac{1}{x}）^2}（1-\frac{1}{x^2}）＜0$，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{3}]$上單調(diào)遞減，最小值為$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1000}{27}$；
∴${（\root{3}{abc}+\frac{1}{{\root{3}{abc}}}）^3}$的最小值為$\frac{1000}{27}$；
∴$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}}）（{c+\frac{1}{c}}）≥\frac{1000}{27}$．

點評 考查柯西不等式，以及柯西不等式等號成立的條件，（a+b）³的展開式，不等式$a+b+c≥3\root{3}{abc}$的運用，構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．