【題目】設函數(shù),其中.

(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù),并說明理由;

(2)若成立,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析:(1)求得導函數(shù),根據(jù)的取值范圍分析討論導函數(shù)的符號,進而判斷極值點情況。

(2)根據(jù)(1)中極值點的情況,討論分析函數(shù)的最值,由恒成立條件求出的取值范圍。

詳解:解:(1),定義域為,

,

時,,,函數(shù)為增函數(shù),無極值點.

時,

,,函數(shù)為增函數(shù),無極值點.

,設的兩個不相等的實數(shù)根,且

,而,則,

所以當,,單調(diào)遞增;當,,,單調(diào)遞減;當,,,單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)有兩個極值點;

,但,,所以當,,單調(diào)遞增;當,,,單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個極值點.

綜上可知當的無極值點;當有一個極值點;當時,有兩個極值點.

(2)由(1)可知當單調(diào)遞增,而,則當時,,符合題意;

時,,,單調(diào)遞增,而,則當時,,符合題意;

時,,,所以函數(shù)單調(diào)遞減,而,則當時,,不符合題意;

時,設,當單調(diào)遞增,因此當時,,于是,當,此時,不符合題意.

綜上所述,的取值范圍是.

另解:(1),定義域為,

時,,函數(shù)為增函數(shù),無極值點.

,,

時,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點的個數(shù).

,即時,,,函數(shù)在為增函數(shù),無極值點.

,即,

而當此時方程只有一個實數(shù)根,此時函數(shù)只有一個極值點;

時方程都有兩個不相等的實數(shù)根,此時函數(shù)有兩個極值點;

綜上可知當的極值點個數(shù)為;當的極值點個數(shù)為;當時,的極值點個數(shù)為.

(2)設函數(shù),,都有成立.

,當時,恒成立;

時,,

時,;由均有成立.

故當時,,則只需;

時,,則需,即.綜上可知對于,都有成立,只需即可,故所求的取值范圍是.

另解:設函數(shù),要使,都有成立,只需函數(shù)上單調(diào)遞增即可,

于是只需,成立,

,令,,

;當;當,

,關于單調(diào)遞增,則,則,于是.

又當時,,,所以函數(shù)單調(diào)遞減,而,

則當時,,不符合題意;

時,設,當,單調(diào)遞增,因此當,于是,當,此時,不符合題意.

綜上所述,

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非一線

一線

總計

愿生

不愿生

總計

附表:

算得,參照附表,得到的正確結論是( )

A. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關”

B. 以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”

C. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關”

D. 以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”

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喜歡統(tǒng)計課程

不喜歡統(tǒng)計課程

合計

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計

30

30

60

(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調(diào)查,將這6名學生作為一個樣本,從中任選3人,求恰有2個男生和1個女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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