Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A（0，1），且|AF₁|=$\sqrt{5}$，橢圓C的離心率為$\frac{2}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點A作直線l與橢圓C交于M，N兩點，若3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由|AF₁|=$\sqrt{5}$求得c，結合橢圓離心率求得a，進一步求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在，設直線方程為y=kx+1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得（5+9k²）x²+18kx-36=0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），再利用根與系數(shù)關系結合3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$得到k值，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）由|AF₁|=$\sqrt{5}$，得c²+1=5，解得c=2．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，∴a=3，則b²=a²-c²=5．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在，設直線方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得（5+9k²）x²+18kx-36=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{18k}{5+9{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{36}{5+9{k}^{2}}$，①
由3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$，得$\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AN}$，
∴（x₁，y₁-1）=$-\frac{2}{3}（{x}_{2}，{y}_{2}-1）$，則${x}_{1}=-\frac{2}{3}{x}_{2}$，②
把②代入①得：5+9k²=54k²，解得k=$±\frac{1}{3}$．
∴直線l的方程為$y=±\frac{1}{3}x+1$．

點評 本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過處理直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設而不解的代數(shù)變形的思想，是中檔題．