Question

8．2010年廣東亞運會，某運動項目設置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K和D兩個動作，比賽時每位運動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運動員的成績．假設每個運動員完成每個系列中的兩個動作的得分是相互獨立的，根據(jù)賽前訓練統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某運動員完成甲系列和乙系列的情況如表：
甲系列：

動作	K		D
得分	100	80	40	10
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

乙系列：

動作	K		D
得分	90	50	20	0
概率	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

（Ⅰ）現(xiàn)該運動員最后一個出場，其之前運動員的最高得分為118分．若該運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇哪個系列，說明理由，并求其獲得第一名的概率；
（II）若該運動員選擇乙系列，求其成績X的分布列及其數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析 （I）若運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇甲系列，選擇甲系列最高得分為100+40=140＞118，可能獲得第一名；而選擇乙系列最高得分為90+20=110＜118，不可能獲得第一名，記“該運動員完成K動作得100分”為事件A，“該運動員完成D動作得40分”為事件B，則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，記“該運動員獲得第一名”為事件C，根據(jù)P（C）=P（AB）+P（$\overline{A}$B）從而求出該運動員得第一名的概率；
（II）若該運動員選擇乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學期望公式解之即可．

解答 解：（I）若該運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇甲系列．
理由如下：選擇甲系列最高得分為100+40=140＞118，可能獲得第一名；而選擇乙系列最高得分為90+20=110＜118，不可能獲得第一名．
記“該運動員完成K動作得100分”為事件A，“該運動員完成D動作得40（分）”為事件B，則P （A）=$\frac{3}{4}$，P （B）=$\frac{3}{4}$． 
記“該運動員獲得第一名”為事件C，依題意得P（C）=P（AB）+$P\;（\overline AB）$=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．
該運動員獲得第一名的概率為$\frac{3}{4}$．
（II）若該運動員選擇乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，
則P （X=50）=$\frac{1}{10}×\frac{1}{10}$=$\frac{1}{100}$，P （X=70）=$\frac{1}{10}×\frac{9}{10}$=$\frac{9}{100}$，P （X=90）=$\frac{9}{10}×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P （X=110）=$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}$=$\frac{81}{100}$．
X的分布列為：

X	50	70	90	110
P	$\frac{1}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{81}{100}$

∴EX=50×$\frac{1}{100}$+70×$\frac{9}{100}$+90×$\frac{9}{100}$+110×$\frac{81}{100}$=104．

點評 本題主要考查了離散型隨機變量的期望和分布列，以及相互獨立事件的概率乘法公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．