Question

19．已知a＞0，b＞0，c＞0函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c．
（1）當(dāng)a=b=c=1時(shí)，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）的最小值為5時(shí)，求a+b+c的值，并求$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=b=c=1時(shí)，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x-1|+1＞5，化為：|x+1|+|x-1|＞4．對(duì)x與±1的大小關(guān)系分類(lèi)討論即可得出．
（2）不妨設(shè)a≥b＞0．分類(lèi)討論：①x＞b時(shí)，②-a≤x≤b時(shí)，③x＜-a時(shí)，可知：-a≤x≤b時(shí)，f（x）取得最小值a+b+c=5．可得$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=$\frac{1}{5}$（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）$，再利用均值不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=c=1時(shí)，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x-1|+1＞5，化為：|x+1|+|x-1|＞4．
①x≥1時(shí)，化為：x+1+x-1＞4，解得x＞2．
②-1＜x＜1時(shí)，化為：x+1-（x-1）＞4，化為：0＞2，解得x∈∅．
③x≤-1時(shí)，化為：-（x+1）-（x-1）＞4，化為：x＜-2．
綜上可得：不等式f（x）＞5的解集為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（2）不妨設(shè)a≥b＞0．
①x＞b時(shí)，f（x）=x+a+x-b+c=2x+a-b+c，
②-a≤x≤b時(shí)，f（x）=a+x-（x-b）+c=a+b+c，
③x＜-a時(shí)，f（x）=-（a+x）+b-x+c=-2x-a+b+c．
可知：-a≤x≤b時(shí)，f（x）取得最小值a+b+c=5．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=$\frac{1}{5}$（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）$≥$\frac{1}{5}×3\root{3}{abc}$×$3\root{3}{\frac{1}{a}×\frac{1}×\frac{1}{c}}$=$\frac{9}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)a═b=c=$\frac{5}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值為$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法、均值不等式的性質(zhì)、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．