Question

14．等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}為等比數列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n與b_n；
（2）證明：$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d＞0，等比數列{b_n}的公比為q，由a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．可得q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，解得d，q．即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項求和”與數列的單調性即可得出．

解答 （1）解：設等差數列{a_n}的公差為d＞0，等比數列{b_n}的公比為q，
∵a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
∴q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，化為：5d²-4d-12=0，
解得d=2，q=8．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1．
（2）證明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”與數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．