Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是y=8，圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）射線OM：θ=α（其中0＜α＜$\frac{π}{2}$）與圓C交于O，P兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，射線ON：θ=α-$\frac{π}{2}$與圓C交于O，Q兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)N，求$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程是y=8，利用y=ρsinθ即可化為極坐標(biāo)方程．圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為普通方程：x²+y²-4x=0，即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{\frac{4cosα}{8}}{sinα}$•|$\frac{\frac{-4cos（α-\frac{π}{2}）}{8}}{sin（α-\frac{π}{2}）}$|=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$≤$\frac{1}{16}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的方程是y=8，化為極坐標(biāo)方程為：ρsinθ=8．
圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為普通方程：（x-2）²+y²=4，
展開(kāi)為：x²+y²-4x=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{\frac{4cosα}{8}}{sinα}$•|$\frac{\frac{-4cos（α-\frac{π}{2}）}{8}}{sin（α-\frac{π}{2}）}$|=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$≤$\frac{1}{16}$（2α∈（0，π））．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值為$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)系下的直線與曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．