Question

已知函數.
（1）若函數滿足,且在定義域內恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若函數在定義域上是單調函數，求實數的取值范圍；
（3）當時，試比較與的大小.

Answer 1

（1） ；(2) ；（3）.

解析試題分析：（1）先利用求出，然后在不等式中分離參數，構造函數求的范圍；(2) 要使在定義域上是單調函數，則其導數應在定義域上恒正或恒負，利用，求出的最值，將在此處斷開討論，求出范圍；（3）由（1）知在上單調遞減，所以時，即，而時，，故可得證.
試題解析：（1）因為，所以，，由        1分
令，可得在上遞減，
在上遞增，所以，即        4分
(2)若，，令
當，當，所以時取得極小值即最小值
而當時 ，必有根，必有極值，在定義域上不單調.
所以                                     8分
（3）由（1）知在上單調遞減
所以時，即        10分
而時，，所以
所以                                         12分
考點：利用導數求函數最值、利用函數單調性證明不等式、利用導數判斷函數增減性.