Question

已知在曲線

x2

2

+

y2

6

=1的內(nèi)接△PAB中，PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，且∠xOP=60°．
（1）求證：直線AB的斜率為定值；
（2）求△PAB面積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,三角形的面積公式

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用橢圓的參數(shù)方程看設(shè)p（

2

cosθ，

6

sinθ），由題意求得p（1，

3

），令過AB的直線為：y=kx+b A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓

x2

2

+

y2

6

=1上，
直線代入橢圓方程得：（3+k²）x²+2kbx+b²-6=0，由k_PA+k_PB=0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得結(jié)論．
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式，利用基本不等式即可求得面積的最大值．

解答： 解：設(shè)p（

2

cosθ，

6

sinθ），
由題意：

6 sinθ

2 cosθ

=

3

，
∴θ=

π

4

，p（1，

3

）．
令過AB的直線為：y=kx+b
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓

x2

2

+

y2

6

=1上，
直線代入橢圓方程得：
（3+k²）x²+2kbx+b²-6=0
由韋達(dá)定理得：
x₁x₂=

b2-6

3+k2

①
x₁+x₂=

2kb

3+k2

②
∵PA，PB的傾斜角互補(bǔ)
∴

y1- 3

x1-1

+

y2- 3

x2-1

=0
去分母得：
2kx₁x₂+（b-

3

-k）（x₁+x₂）-2（b-

3

）=0
把①，②代入化解得：
2

3

k²+（2

3

b-12）k+6（

3

-b）=0
即：k²+（b-2

3

）k+

3

（

3

-b）=0
（k-

3

）（k+b-

3

）=0
k=

3

或k=

3

-b
（2）AB所在直線為：y=

3

x+b 即

3

x-y+b=0
∴P點(diǎn)到直線的距離d=

|b|

2

把直線代入橢圓方程得：
6x²+2

3

bx+b²-6=0，
∴|x₁-x₂|²=

12-b2

3

，
∴|AB|=2•

12-b2 3

，
∴面積S=

1

2

|AB|•d=

1

2

12-b2 3

•|b|
=

1

2

(12-b2)•b2 3

≤

1

2

( 12-b2+b2 2 )2 3

=

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=±

6

時(shí)等式成立，
s_max=

3

，
∴當(dāng)b=±

6

時(shí)，面積PAB有最大值

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系及距離、弦長(zhǎng)等知識(shí)，考查學(xué)生定點(diǎn)問題及最值問題的解決策略，邏輯思維強(qiáng)，屬于難題．