Question

12．某工程設(shè)備租賃公司為了調(diào)查A，B兩種挖掘機(jī)的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種挖掘機(jī)各100臺(tái)，分別統(tǒng)計(jì)了每臺(tái)挖掘機(jī)在一個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
A型車挖掘機(jī)

出租天數(shù)	1	2	3	4	5	6	7
車輛數(shù)	5	10	30	35	15	3	2

B型車挖掘機(jī)

出租天數(shù)	1	2	3	4	5	6	7
車輛數(shù)	14	20	20	16	15	10	5

（Ⅰ）根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，求該公司一臺(tái)A型挖掘機(jī)，一臺(tái)B型挖掘機(jī)一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；
（Ⅱ）如果A，B兩種挖掘機(jī)每臺(tái)每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種挖掘機(jī)中購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)哪一種類型，并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“事件A_i表示一臺(tái)A型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，“事件B_j表示一臺(tái)B型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺(tái)A型挖掘機(jī)，一臺(tái)B型挖掘機(jī)一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁），代入概率計(jì)算即可得出．
（II）利用頻率可得概率，分別得出X，Y的分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）設(shè)“事件A_i表示一臺(tái)A型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，
“事件B_j表示一臺(tái)B型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺(tái)A型挖掘機(jī)，一臺(tái)B型挖掘機(jī)一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=$\frac{5}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{10}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{30}{100}×\frac{14}{100}$=$\frac{9}{125}$．
所以該公司一臺(tái)A型車，一臺(tái)B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為$\frac{9}{125}$．
（Ⅱ）設(shè)X為A型挖掘機(jī)出租的天數(shù)，則X的分布列為

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

…（6分）
設(shè)Y為B型挖掘機(jī)出租的天數(shù)，則Y的分布列為

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

…（8分）
EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一臺(tái)A類型的挖掘機(jī)一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，一臺(tái)輛B類型的挖掘機(jī)一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.48天，選擇A類型的挖掘機(jī)更加合理．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率與概率的關(guān)系、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．