Question

2．已知菱形ABCD如圖（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC與BD相交于點(diǎn)O，現(xiàn)沿AC進(jìn)行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取點(diǎn)E，連接AE，BE，CE，DE，使得線段BE再平面ABC內(nèi)的投影落在線段OB上，得到的圖形如圖（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）證明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出DO⊥AC，從而DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC于F，由題意點(diǎn)F落在BO上，且∠EBF=∠OBE=60°，推導(dǎo)出DO∥EF，從而四邊形DEFO是矩形，進(jìn)而DE∥OF，由OF⊥AC，能證明DE⊥AC．
（Ⅱ）多面體ABCDE的體積V_ABCDE=2V_A-BODE，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）由圖（1）知△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
∴DO⊥AC，
又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，
∴DO⊥平面ABC，
作EF⊥平面ABC于F，由題意點(diǎn)F落在BO上，
且∠EBF=∠OBE=60°，
在Rt△BEF中，EF=BE•sin∠EBF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△DOC中，DO=DC•sin∠DCO=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵DO⊥平面ABC，EF⊥平面ABC，∴DO∥EF，
又DO=EF，∴四邊形DEFO是矩形，∴DE∥OF，
∵OF⊥AC，∴DE⊥AC．
解：（Ⅱ）依題意由（Ⅰ）可知：
多面體ABCDE的體積V_ABCDE=2V_A-BODE=$2×\frac{1}{3}×\frac{（\sqrt{3}-1+\sqrt{3}）×\sqrt{3}}{2}×1$=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查多面體體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．