【題目】定義：若一個函數(shù)存在極大值，且該極大值為負(fù)數(shù)，則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當(dāng)，且時，函數(shù)是“函數(shù)”．

【答案】（1）是“函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值，結(jié)合題中定義判斷即可；

（2）分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用題中定義得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得實數(shù)的取值范圍；

（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)函數(shù)的極值點分別為、，可知、是方程的兩根，進(jìn)而可列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理證明出函數(shù)的極大值為負(fù)數(shù)，由此可證得結(jié)論.

（1）函數(shù)是“函數(shù)”，理由如下：

因為，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)的極大值，故函數(shù)是“函數(shù)”；

（2）函數(shù)的定義域為，.

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，無極大值，不滿足題意；

當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為，

易知，解得，

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3） ，因為，，則，

所以有兩個不等實根，設(shè)為、，

因為，所以，，不妨設(shè)，

當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的極大值為，

由得，

因為，，

所以

．

所以函數(shù)是“函數(shù)”．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) .

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的極大值點為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù),對任意,恒成立.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點分別為橢圓的左右頂點和右焦點，過點的直線交橢圓于點.

（1）若，點與橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程；

（2）已知直線的斜率是直線斜率的倍.

①求橢圓的離心率；

②若橢圓的焦距為，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省2020年高考將實施新的高考改革方案．考生的高考總成績由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語文、數(shù)學(xué)、外語三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為，，，，，，，共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．舉例說明：某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級．而等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分計算方法為：設(shè)該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為，，求得．四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?/span>67．為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，全省對六個選考科目進(jìn)行測試，某校高一年級2000人，根據(jù)該校高一學(xué)生的物理原始成績制成頻率分布直方圖（見右圖）．由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校高一學(xué)生的物理原始成績服從正態(tài)分布，用這2000名學(xué)生的平均物理成績作為的估計值，用這2000名學(xué)生的物理成績的方差作為的估計值．

（1）若張明同學(xué)在這次考試中的物理原始分為86分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉(zhuǎn)換后的物理成績（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取100人，記表示這100人中等級成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點作代表）；

②由①中的數(shù)據(jù)，記該校高一學(xué)生的物理原始分高于84分的人數(shù)為，求．

附：若，則，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構(gòu)成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設(shè)計師準(zhǔn)備焊接三條金絲線且長度不小于長度，設(shè).

（1）試求出金絲線的總長度，并求出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時，金絲線的總長度最小，并求出的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個洞(或數(shù)字)，其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計一個“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個數(shù)之一，而且每個數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問：你能設(shè)計出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設(shè)計方案；若不能，寫出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．

（1）求證：BD⊥AE

（2）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.

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【題目】已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點，則下列命題中正確的個數(shù)為（ ）

①面積的最小值為4；

②以為直徑的圓與x軸相切；

③記，，的斜率分別為，，，則；

④過焦點F作y軸的垂線與直線，分別交于點M，N，則以為直徑的圓恒過定點.

A.1B.2C.3D.4

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