Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x+1．
（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，f（x）=x³-5x²+3x+1，求導(dǎo)f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），從而求切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為f′（x）=3x²-2ax+3=0在（2，3）內(nèi)有解且f′（x）=3x²-2ax+3在（2，3）上有正有負(fù)，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，f（x）=x³-5x²+3x+1，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
f（2）=8-5×4+3×2+1=-5，
f′（2）=12-20+3=-5，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程為
y+5=-5（x-2），
即5x+y-5=0；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

1

3

），（3，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為[

1

3

，3]；
（Ⅲ）f′（x）=3x²-2ax+3，
①當(dāng)

a

3

≤2或

a

3

≥3，即a≤6或a≥9時(shí)，
f′（x）在[2，3]上單調(diào)，
故有f′（2）•f′（3）＜0，
即（12-4a+3）（27-6a+3）＜0，
故

15

4

＜a＜5，
②當(dāng)2＜

a

3

＜3，即6＜a＜9時(shí)，
f′（2）＞0或f′（3）＞0，且f′（

a

3

）＜0；
無(wú)解；
故若f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

15

4

，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．