Question

2．F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，E上任一點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，則橢圓E的離心率的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意可知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)點(diǎn)P為（x，y），根據(jù)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，求解a與c的關(guān)系可得答案．

解答 解：由題意可知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)點(diǎn)P為（x，y），
∵$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
∴x2=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{y}^{2}）}{^{2}}$
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），
$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y），
P滿足$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$≥$\frac{1}{2}{a^2}$，即$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=x²-c²+y²=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{y}^{2}）}{^{2}}$-c²+y²=${a}^{2}-{c}^{2}-\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{^{2}}$
當(dāng)y=b時(shí)，$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$取得最小值為a²-2c²
故為a²-2c²$≥\frac{1}{2}$a²，
解得：e$≤\frac{1}{2}$．
∴橢圓E的離心率的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．
故答案為（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓離心率的求法和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．屬于中檔題．