【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,
(1)求函數(shù)f(x)過(﹣1,﹣2)的切線的方程
(2)過點P(1,t)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍
【答案】(1)y=x﹣1(2)(﹣∞,0)
【解析】
(1)求導(dǎo)得到f′(x)=1+lnx,設(shè)切點為(m,n),利用切線方程公式計算得到答案.
(2)導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx,設(shè)切點為(u,v)化簡得到t﹣1=lnu﹣u在(0,+∞)有兩解,求函數(shù)的最值得到答案.
(1)函數(shù)f(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx,
設(shè)切點為(m,n),可得切線的斜率為1+lnm,切線方程為y﹣mlnm=(1+lnm)(x﹣m),
代入(﹣1,﹣2),可得﹣2﹣mlnm=(1+lnm)(﹣1﹣m),
化為m+lnm=1,由y=x+lnx在(0,+∞)遞增,且x=1時,y=1,
可得m+lnm=1的解為m=1,
則所求切線的方程為y=x﹣1;
(2)函數(shù)f(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx,
設(shè)切點為(u,v),則切線的斜率為f′(u)=1+lnu,
即有切線的方程為y﹣ulnu=(1+lnu)(x﹣u),
代入點P(1,t),即有t﹣ulnu=(1+lnu)(1﹣u),
即為t﹣1=lnu﹣u在(0,+∞)有兩解,
由g(x)=lnx﹣x的導(dǎo)數(shù)為g′(x)1,
可得x>1,g(x)遞減,0<x<1,g(x)遞增.
可得x=1,取得最大值g(1)=﹣1,即有t﹣1<﹣1,解得t<0.
故實數(shù)t的取值范圍時(﹣∞,0).
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【題目】已知曲線的方程為,的方程為,是一條經(jīng)過原點且斜率大于的直線.
(1)以直角坐標(biāo)系原點為極點,軸正方向為極軸建立極坐標(biāo)系,求與的極坐標(biāo)方程;
(2)若與的一個公共點(異于點),與的一個公共點為,當(dāng)時,求的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,若是函數(shù)的零點,且,求的值;
(3)當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點,且,求證:.
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【題目】已知三個內(nèi)角所對的邊分別是,若.
(1)求角;
(2)若的外接圓半徑為2,求周長的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:(1)由正弦定理將邊角關(guān)系化為邊的關(guān)系,再根據(jù)余弦定理求角,(2)先根據(jù)正弦定理求邊,用角表示周長,根據(jù)兩角和正弦公式以及配角公式化為基本三角函數(shù),最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值.
試題解析:(1)由正弦定理得,
∴,∴,即
因為,則.
(2)由正弦定理
∴, , ,
∴周長
∵,∴
∴當(dāng)即時
∴當(dāng)時, 周長的最大值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】經(jīng)調(diào)查,3個成年人中就有一個高血壓,那么什么是高血壓?血壓多少是正常的?經(jīng)國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調(diào)查,得出隨年齡變化,收縮壓的正常值變化情況如下表:
其中: , ,
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(的值精確到0.01)
(3)若規(guī)定,一個人的收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的0.9~1.06倍,則為血壓正常人群;收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.06~1.12倍,則為輕度高血壓人群;收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.12~1.20倍,則為中度高血壓人群;收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.20倍及以上,則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人,屬于哪類人群?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店,為合理安排各地區(qū)加盟店的個數(shù),先在其中5個地區(qū)試點,得到試點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1,2,3,4,5時,單店日平均營業(yè)額(萬元)的數(shù)據(jù)如下:
加盟店個數(shù)(個) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
單店日平均營業(yè)額(萬元) | 10.9 | 10.2 | 9 | 7.8 | 7.1 |
(1)求單店日平均營業(yè)額(萬元)與所在地區(qū)加盟店個數(shù)(個)的線性回歸方程;
(2)根據(jù)試點調(diào)研結(jié)果,為保證規(guī)模和效益,在其他5個地區(qū),該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預(yù)計值總和不低于35萬元,求一個地區(qū)開設(shè)加盟店個數(shù)的所有可能取值;
(3)小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店,根據(jù)公司規(guī)定,他們只能分別從其他五個地區(qū)(加盟店都不少于2個)中隨機選一個地區(qū)加入,求他們選取的地區(qū)相同的概率.
(參考數(shù)據(jù)及公式:,,線性回歸方程,其中,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù),其圖像是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)x都成立,則稱是一個“k~特征函數(shù)”.則下列結(jié)論中正確命題序號為____________.
①是一個“k~特征函數(shù)”;②不是“k~特征函數(shù)”;
③是常數(shù)函數(shù)中唯一的“k~特征函數(shù)”;④“~特征函數(shù)”至少有一個零點;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,在四棱錐中,面,,,,,,,為的中點。
(1)求證:面;
(2)線段上是否存在一點,滿足?若存在,試求出二面角的余弦值;若不存在,說明理由。
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