Question

1．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），$-\frac{π}{2}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow c$=（1，0），若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，從而可求得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}=2$，這樣即可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值；
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{c}$即可得出$\left\{\begin{array}{l}cosα=1-cosβ\\ sinα=-sinβ\end{array}\right.$，平方后即可求出cosα，cosβ的值，從而求出α，β的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$；
∴${（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）^2}=|\overrightarrow a{|^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+|\overrightarrow b{|^2}=|\overrightarrow a{|^2}+|\overrightarrow b{|^2}=2$；
∴$|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}=2$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（1，0）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}cosα+cosβ=1\\ sinα+sinβ=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}cosα=1-cosβ\\ sinα=-sinβ\end{array}\right.$；
解得$cosβ=\frac{1}{2}$，$cosα=\frac{1}{2}$；
∵$-\frac{π}{2}＜α＜β＜\frac{π}{2}$；
∴$α=-\frac{π}{3}$，$β=\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算．