Question

10．秉承提升學(xué)生核心素養(yǎng)的理念，學(xué)校開(kāi)設(shè)以提升學(xué)生跨文化素養(yǎng)為核心的多元文化融合課程，選某藝術(shù)課程的學(xué)生唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人，設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，其P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$．
（Ⅰ）求選該藝術(shù)課程的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）寫(xiě)出ξ的概率分布列并計(jì)算Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有7-x人，則只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是7-2x人，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式求出x=2，由此能求出選該藝術(shù)課程的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有7-x人，
則只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是7-2x人，
∵P（ξ＞0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，即$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}=\frac{3}{10}$，
解得x=2，
∴選該藝術(shù)課程的學(xué)生人數(shù)共有5人．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．