Question

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）定義:如果實數(shù)滿足， 那么稱比更接近.對于（2）中的及，問:和哪個更接近？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）比更接近.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的取值范圍，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）存在，使得成立，即成立.根據(jù)（1）的分類情況進行討論分析，最后求出實數(shù)的取值范圍；

（3）構(gòu)造函數(shù)：，，分別求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間進行分類討論：，判斷函數(shù)的正負性，從而判斷出和哪個更接近.

（1）

當(dāng)時，，在R上為增函數(shù)；

當(dāng)時，由，得，即

，由，得.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2）存在，使得成立，即成立.

由（1）知，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，則，

不滿足成立,

當(dāng)時，若，則在上為增函數(shù)，則，

不滿足成立,

若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

.

∴實數(shù)a的取值范圍是；

（3）令，

，在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時，，當(dāng)時，；

，，在上單調(diào)遞增，

故，則在上單調(diào)遞增，.

①當(dāng)，令

.

，故在上單調(diào)遞減，

，即

，

∴比更接近；

②當(dāng)時，令

，

，故

在上單調(diào)遞減，

，即，

∴比更接近.

綜上，當(dāng)及時，比更接近.