Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，-4≤x≤0}\\{-{2}^{x}，0＜x≤a}\end{array}\right.$的值域是[-8，1]，則實數(shù)a的取值范圍是（0，3]．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)4≤x≤0時，函數(shù)的值域剛好為[-8，1]，故只需y=-2^x，a≤x＜0的值域應(yīng)為[-8，1]的子集，可得a的不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：當(dāng)-4≤x≤0時，f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=-1，
故函數(shù)在[-4，-1]單調(diào)遞增，[-1，0]單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最大值1，當(dāng)x=-4時，函數(shù)取最小值-8，
又函數(shù)f（x）的值域為[-8，1]，
∴y=-2^x，a≤x＜0的值域應(yīng)為[-8，1]的子集，
又y=-2^x單調(diào)遞減，∴y∈[-2^a，-1），
故只需-2^a≥-8即可，解得0＜a≤3
故答案為：（0，3]．

點評 本題考查函數(shù)的值域，涉及分段函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．