已知函數(shù)在上的最大值為
求數(shù)列的通項公式；
求證：對任何正整數(shù)，都有；
設數(shù)列的前項和，求證：對任何正整數(shù)，都有成立

（1）；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析.

解析試題分析：（1）判斷在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得最大值，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）當時，欲證 ，只需證明， 
（3）利用（2）的結論得，再由對其進行放縮得：
，可得證.
（1）
             
當時，由知：   
                 
∵時，；時，；
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴在處取得最大值，
即.   
（2）當時，欲證 ，
只需證明            
∵
.     
所以，當時，都有成立．
（3）

所以，對任意正整數(shù)，都有成立.
考點： 數(shù)列的概念及簡單表示法；數(shù)列與不等式；數(shù)列求和放縮.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則
               

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求的最大或最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{}是等差數(shù)列,其中每一項及公差均不為零,設=0()是關于的一組方程.
(1)求所有這些方程的公共根;
(2)設這些方程的另一個根為,求證,,,…, ,…也成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有．
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導函數(shù)f′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在正項等比數(shù)列中，公比，且和的等比中項是．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，判斷數(shù)列的前項和是否存在最大值，若存在，求出使最大時的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項.
(l)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列，證明數(shù)列是等差數(shù)列并求前n項和.

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