【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx-a.
(1)若a=-1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) x-y-2=0 (2)
【解析】
(1)利用曲線的切線方程公式,求得結(jié)果;
(2)由題,進行變形為f(x)恒成立,即f(x)恒成立,構(gòu)造新函數(shù),用參變分離求函數(shù)單調(diào)性求其最值,求得a的范圍.
函數(shù)f(x)的定義域為(0,+)
(1)a=-1時,f(x)=lnx-.,,
,且f(1)=-1.
所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y-(-1)=x-1,
即x-y-2=0.
(2)若f(x)恒成立,即f(x)恒成立.
設(shè)g(x)=f(x)-x=lnx--a,只要即可;
.
①當a=0時,令,得x=1.
x,變化情況如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,+) |
+ | 0 | - | |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ |
所以,故滿足題意.
②當a時,令,得x=-(舍)或x=1;
x,變化情況如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,+) |
+ | 0 | - | |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ |
所以,令,得.
③當時,存在x=2-
滿足g(2-)=ln(2-),
所以f(x)不能恒成立,所以不滿足題意.
綜上,實數(shù)a的取值范圍為.
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【題目】如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.
(1)證明:平面.
(2)若,當三棱錐的體積最大時,求到平面的距離.
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【題目】為了調(diào)節(jié)高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力,某校高三年級舉行了拔河比賽,在賽前三位老師對前三名進行了預(yù)測,于是有了以下對話:老師甲:“7班男生比較壯,7班肯定得第一名”.老師乙:“我覺得14班比15班強,14班名次會比15班靠前”.老師丙:“我覺得7班能贏15班”.最后老師丁去觀看完了比賽,回來后說:“確實是這三個班得了前三名,且無并列,但是你們?nèi)酥兄挥幸蝗祟A(yù)測準確”.那么,獲得一、二、三名的班級依次為( )
A.7班、14班、15班B.14班、7班、15班
C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班
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【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,AB=AA1=A1B=4,BC=2,AC=2,點F為AB的中點,點E為線段A1C1上的動點.
(1)求證:BC⊥平面A1EF;
(2)若∠B1EC1=60°,求四面體A1B1EF的體積.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程及直線的普通方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于,兩點(點在點左邊)與直線交于點.求和的值.
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【題目】已知橢圓:,動直線l與橢圓E交于不同的兩點,,且△AOB的面積為1,其中O為坐標原點.
(1)證明:為定值;
(2)設(shè)線段AB的中點為M,求的最大值.
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【題目】已知雙曲線C:1(a0,b0)的左右焦點分別為F1,F2,點O為坐標原點,點P在雙曲線的右支上,且滿足|F1F2|=2|OP|.若直線PF2與雙曲線C只有一個交點,則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex﹣ax+a(a∈R),其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1<x2.
(1)求a的取值范圍;
(2)證明:f′()<0(f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù));
(3)設(shè)點C在函數(shù)y=f(x)的圖象上,且△ABC為等腰直角三角形,記t,求(a﹣1)(t﹣1)的值.
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【題目】在平面直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為ρ=4sin(θ+).
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點,求△MON的面積.
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