【題目】已知橢圓:,動(dòng)直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn),,且△AOB的面積為1,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明:為定值;
(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)最大值為.
【解析】
(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l:x=m,代入橢圓方程求解,結(jié)合△AOB的面積為1求得m值,可得為定值4,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè),聯(lián)立橢圓方程,可得A,B橫坐標(biāo)的和與積,利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng),再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離,結(jié)合△AOB的面積為1,可得,則的值可求,從而說(shuō)明為定值;
(2)設(shè),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,則|;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由(1)可得M的坐標(biāo),求得,寫(xiě)出,結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最值.
(1)當(dāng)直線l的斜率不存在,設(shè)l:x=m
代入橢圓方程,得,即
由△AOB的面積為1,可得,
解得:,則;
當(dāng)直線l的斜率存在,設(shè),
聯(lián)立,
化簡(jiǎn)整理可得,
設(shè),,
可得,,
,
由△AOB的面積為1,可得,
化簡(jiǎn)可得,
則
,
而,
綜上可得,為定值4;
(2)設(shè),
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,
,則|;
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由(1)可得,
,
則,
可得
.
∵,∴.
可知.
綜上,的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展,某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免,某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出了樣本的頻率分布直方圖,下面三個(gè)結(jié)論:
①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45;
②如果規(guī)定年收入在500萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策,估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策;
③樣本的中位數(shù)為480萬(wàn)元.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表.(說(shuō)明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(2)根據(jù)物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)表,請(qǐng)估計(jì)物理成績(jī)的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從此6人中隨機(jī)抽取3人,記X為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,是橢圓的左右焦點(diǎn),橢圓與軸正半軸交于點(diǎn),直線的斜率為,且到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò),分別作直線,,且與相交于軸上方一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求,兩點(diǎn)間距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx-a.
(1)若a=-1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x+1)2,令f1(x)=f'(x),fn+1(x)=fn'(x),若fn(x)=ex(anx2+bnx+cn),記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列選項(xiàng)中與S2019的值最接近的是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2,它們所在的平面互相垂直,DF⊥平面ABCD且DF.
(1)求證:EF//平面ABCD;
(2)若∠ABC=∠BCE,求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn)),面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),問(wèn)軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓C于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的都有?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由;
(3)若過(guò)點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M,求的最小值.
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