Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），當x＜0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＜x，則f（x）在R上的零點個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、3
• C、5
• D、1或3

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：可構造函數(shù)g（x）=x²f（x），利用導數(shù)判斷其單調性，結合函數(shù)為奇函數(shù)，即可得出結論．

解答： 解：令g（x）=x²f（x），則g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵當x＜0時，f（x）滿足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x²＞0，
∴當x＜0時，g（x）為減函數(shù)，
則g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞0，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一個零點為x=0．
故選A．

點評：本題主要考查利用構造函數(shù)法判斷函數(shù)零點的知識，合理的構造函數(shù)是解決問題的關鍵．