Question

已知f（x）=x³-3x，g（x）=sinx+

3

cosx-m，若?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使得f（x₁）＞g（x₂），則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（3，+∞）
• B、（-∞，3）
• C、（-17，+∞）
• D、（-∞，-3）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，求出函數(shù)f（x）=x³-3x與g（x）=sinx+

3

cosx-m在定義域內(nèi)求出各自的最小值，推出不等式，求解即可得到m的范圍、

解答： 解：f（x）=x³-3x，則f′（x）=3x²-3=3（x²-1），x₁∈[-1，1]，f′（x）≤0，f（x）=x³-3x是減函數(shù)，x₁∈[1，3]，f′（x）≥0，f（x）=x³-3x是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=-2；
g（x）=sinx+

3

cosx-m=2sin（x+

π

3

）-m，x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
2sin（x+

π

6

）-m的最小值為：1-m．
f（x）=x³-3x，g（x）=sinx+

3

cosx-m，若?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使得f（x₁）＞g（x₂），
轉(zhuǎn)化為：f（x）_min＞g（x）_min，即-2＞1-m，
解得m＞3．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)最值的求法，三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，推出f（x）_min＞g（x）_min，是解題的關(guān)鍵．