Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線L交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．
（1）求C的方程
（2）若直線L₁平行L，且L₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，證明直線AE恒過(guò)定點(diǎn)?求△ABE的面積最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；
（2）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，利用直線l₁∥l，且l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線AE的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)；利用弦長(zhǎng)公式求出弦AB的長(zhǎng)度，再求點(diǎn)E到直線AB的距離，得到關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，
A（3，$\sqrt{6p}$），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），
∴|FA|=|FD|=3+$\frac{p}{2}$．
∵△ADF為正三角形，
∴|FG|=$\frac{1}{2}$|FD|=$\frac{3}{2}$+$\frac{p}{4}$．
 又∵|FG|=|OG|=|OF|=3-$\frac{p}{2}$，
∴3-$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{p}{4}$，
∴p=2．
∴C的方程為y²=4x．
當(dāng)D在焦點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，|FA|=|FD|=3+$\frac{p}{2}$
又|FD|=2|FG|=2（$\frac{p}{2}$-3）=p-6，
∵△ADF為正三角形，
∴3+$\frac{p}{2}$=p-6，解得p=18，
∴C的方程為y²=36x．此時(shí)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸，不成立，舍．
∴C的方程為y²=4x．
 （2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），|FD|=|AF|=x₁+1，
∴D（x₁+2，0），
∴k_AD=-$\frac{{y}_{1}}{2}$．
由直線l₁∥l可設(shè)直線l₁方程為y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m，
聯(lián)立方程，消去x得y₁y²+8y-8m=0   ①
由l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得△=64+32y₁m=0，∴y₁m=-2，
這時(shí)方程①的解為y=2m，代入y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m得x=m²，∴E（m²，2m）．
點(diǎn)A的坐標(biāo)可化為（$\frac{1}{{m}^{2}}$，-$\frac{2}{m}$），直線AE方程為y-2m=$\frac{2m+\frac{2}{m}}{{m}^{2}-\frac{1}{{m}^{2}}}$（x-m²），
即y=$\frac{2m}{{m}^{2}-1}$（x-1），
∴直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）；
直線AB的方程為y-y₁=-$\frac{{y}_{1}}{2}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），即x=-$\frac{2}{{y}_{1}}$y+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$+2．
聯(lián)立方程，消去x得${y}^{2}+\frac{8}{{y}_{1}}y-（{{y}_{1}}^{2}+8）=0$，
∴y₁+y₂=-$\frac{8}{{y}_{1}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}}$|$2{y}_{1}+\frac{8}{{y}_{1}}$|，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），點(diǎn)E到直線AB的距離為：d=$\frac{|\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+2|}{\sqrt{1+\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}}}$，
∴△ABE的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=2|$\frac{{y}_{1}}{2}$+$\frac{2}{{y}_{1}}$|³≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=±2時(shí)等號(hào)成立，
∴△ABE的面積最小值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程求法，切線方程的求法，定點(diǎn)問(wèn)題與最值問(wèn)題．