Question

20．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$，c=2，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，得到cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，由c及cosC的值，利用余弦定理表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式及等式的性質(zhì)得到ab的最大值，由sinC及ab的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答 解：根據(jù)正弦定理得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=-$\frac{cosB}{cosC}$，
∴2sinAcosC+sinBcosC=-cosBsinC，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC+cosBsinC=0，即sinA（2cosC+1）=0，
又∵sinA≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，又B為三角形的內(nèi)角，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵c=2，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab，
又a²+b²≥2ab，即4-ab≥2ab，
∴ab≤$\frac{4}{3}$，即ab的最大值為$\frac{4}{3}$，
則△ABC的面積的最大值S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．