Question

1．已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=2，PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為6π．

Answer 1

分析 以PA，PB，PC分棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，由此能求出三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=2，PB=PC=1，
∴以PA，PB，PC分棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，
則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，
∴由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的中心是三棱錐的外接球的心，
三棱錐的外接球的半徑為R=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以外接球的表面積為S=4πR²=4$π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π．
故答案為：6π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．