Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（3b-c）cosA-acosC=0．
（1）求cosA；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，△ABC的面積S_△ABC=3$\sqrt{2}$，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若sinBsinC=$\frac{2}{3}$，求tanA+tanB+tanC的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得sin B（3cos A-1）=0，由于sin B≠0，可求cosA的值．
（2）利用三角形面積公式可求bc=9，利用余弦定理可求b²+c²=18，聯(lián)立可求b=c=3，可得△ABC為等腰三角形．
（3）由cosA=$\frac{1}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得sinBsinC-cosBcosC=$\frac{1}{3}$，又sinBsinC=$\frac{2}{3}$，可求tanBtanC=2，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為16分）
解：（1）由（2b-c）cos A-acos C=0及正弦定理，得（3sin B-sin C）cos A-sin Acos C=0，
∴3sin Bcos A-sin（A+C）=0，可得：sin B（3cos A-1）=0．
∵0＜B＜π，
∴sin B≠0，
∴cos A=$\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=3$\sqrt{2}$，
∴bc=9，①
∵a²=b²+c²-2bccos A，
∴b²+c²=18，②…（7分）
由①②得b=c=3，
∴△ABC為等腰三角形．…（10分）
（3）由cos A=$\frac{1}{3}$，得tanA=2$\sqrt{2}$，cos（B+C）=-$\frac{1}{3}$，
∴sinBsinC-cosBcosC=$\frac{1}{3}$，…（12分）
又sinBsinC=$\frac{2}{3}$，
∴cosBcosC=$\frac{1}{3}$，
∴tanBtanC=2，…（14分）
又tanB+tanC=tan（B+C）（1-tanBtanC）=2$\sqrt{2}$，
∴tanA+tanB+tanC=4$\sqrt{2}$．…（16分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．