Question

10．已知三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c，滿足$C=\frac{π}{6}$且$b=4\sqrt{3}sinB$，則三角形ABC面積的最大值為6+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出c，利用余弦定理以及基本不等式求出ab的范圍，然后求解三角形的面積．

解答 解：因為$C=\frac{π}{6}$，又$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=4\sqrt{3}$，得${c}=2\sqrt{3}$，
而${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC={a^2}+{b^2}-\sqrt{3}ab≥（{2-\sqrt{3}}）ab$，
所以$ab≤\frac{12}{{（{2-\sqrt{3}}）}}=12（{2+\sqrt{3}}）$，當且僅當$a=b=\sqrt{12（{2+\sqrt{3}}）}$時等號成立，
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{4}ab≤3（{2+\sqrt{3}}）=6+3\sqrt{3}$，即當$a=b=\sqrt{12（{2+\sqrt{3}}）}$時，
三角形ABC面積最大值為$6+3\sqrt{3}$．
故答案為：6+3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應用，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．