Question

15．已知圓$E：{x^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{9}{4}$，經過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點F₁，F₂，且與橢圓C在第一象限的交點為A，且F₁，E，A三點共線，則該橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 F₁，E，A三點共線，AF₂⊥x軸，|F₁A|=$2×\frac{3}{2}$=2a．把x=c代入橢圓方程解得A$（c，\frac{^{2}}{a}）$．由O為線段F₁F₂的中點，利用中位線定理可得|AF₂|=2|OE|，$\frac{^{2}}{a}$=1，$2×\frac{3}{2}$=2a-1，a²=b²+c²，解出即可得出．

解答 解：∵F₁，E，A三點共線，∴AF₂⊥x軸，|F₁A|=$2×\frac{3}{2}$．
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=$\frac{^{2}}{a}$，A$（c，\frac{^{2}}{a}）$．
∵O為線段F₁F₂的中點，∴|AF₂|=2|OE|，∴$\frac{^{2}}{a}$=1，$2×\frac{3}{2}$=2a-1，a²=b²+c²，
解得a=2，b²=2．
∴該橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、三角形中位線定理、圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．