Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+b+1}{{2}^{x}+1}$是定義域在R上的奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{6}{5}$．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]+f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]≥0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）定義域在R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，f（2）=$\frac{6}{5}$即可求解實數(shù)a、b的值；
（2）利用定義證明單調(diào)性．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即求解不等式．

解答 解：（1）由題意可知f（x）定義域在R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，f（2）=$\frac{6}{5}$
即：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{a+b+1}{2}=0}\\{f（2）=\frac{44a+b+1}{5}=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$
即實數(shù)a=2、b=-3
（2）由（1）f（x）=$\frac{2•{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$=2-
函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
證明：在R上任x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-（2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}-1}$）=$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴$0＜{2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]+f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]≥0．
等價轉(zhuǎn)化為：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]≥-f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]
∵f（x）定義域在R上的奇函數(shù)
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]≥f[log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-$\frac{1}{2}$x）]
又∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-$\frac{1}{2}$x）
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-2＞0}\\{1-\frac{1}{2}x＞0}\\{2x-1≤1-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＜2}\\{x≤\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
∴原不等式的解集為{x|$1＜x≤\frac{6}{5}$}．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的證明及運用，對數(shù)的計算能力，屬于中檔題．