【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)題意求得函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）先將函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在上恰有一解，然后換元，構(gòu)造函數(shù)，利用分類討論思想進(jìn)行求解，也可分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）解法1、由函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解，

令，易知在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以方程在上恰有一解，

記，則．

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，方程在上恰有一解，滿足題意．

②當(dāng)時(shí)，方程在上恰有一解，滿足題意．

③當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)，即時(shí)，方程在上恰有一解．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法2、 函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解．

令，易知在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以方程在上恰有一解，

即方程在上恰有一解．

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，，

所以作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

數(shù)形結(jié)合可知，或．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)滿足

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與直線交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，．

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，是上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）是的中點(diǎn)，若二面角的平面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國法定勞動(dòng)年齡是周歲至退休年齡（退休年齡一般指男周歲，女干部身份周歲，女工人周歲）.為更好了解我國勞動(dòng)年齡人口變化情況，有關(guān)專家統(tǒng)計(jì)了年我國勞動(dòng)年齡人口和周歲人口數(shù)量（含預(yù)測(cè)），得到下表：

其中年勞動(dòng)年齡人口是億人，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A.年勞動(dòng)年齡人口比年減少了萬人以上

B.這年周歲人口數(shù)的平均數(shù)是億

C.年，周歲人口數(shù)每年的減少率都小于同年勞動(dòng)人口每年的減少率

D.年這年周歲人口數(shù)的方差小于這年勞動(dòng)人口數(shù)的方差

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

（1）若，求的最小值；

（2）記f（x）的圖象在處的切線的縱截距為，求的極值；

（3）若有2個(gè)零點(diǎn)，求證：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案