Question

2．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，設(shè)b_n+2=3log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的首項為a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．可得b_n=3n-2即可證明．
（2）由（1）知：c_n=（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：數(shù)列{a_n}的首項為a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∵b_n+2=3log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*），∴b_n=3n-2是關(guān)于n的一次函數(shù)，
因此：{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為3．
（2）由（1）知：c_n=（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴S_n=$1×\frac{1}{4}+3×（\frac{1}{4}）^{2}$+$7×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
$\frac{1}{4}{S}_{n}$=$（\frac{1}{4}）^{2}+3×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（3n-5）$•（\frac{1}{4}）^{n}$+（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$，
兩式相減得$\frac{3}{4}$S_n=$\frac{1}{4}+3[（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{3}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n}]$-（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{4}$+3×$\frac{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$-（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{2}$-（3n+2）×$\frac{1}{{4}^{n+1}}$．
∴S_n=$\frac{2}{3}$-$\frac{12n+8}{3}$×$\frac{1}{{4}^{n+1}}$（n∈N^*）．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．