Question

17．把離心率e=$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$稱為黃金雙曲線．給出以下幾個(gè)說法：
①雙曲線x²-$\frac{{2{y^2}}}{{\sqrt{5}-1}}$=1是黃金雙曲線； 
②若雙曲線上一點(diǎn)P（x，y）到兩條漸近線的距離積等于$\frac{a^3}{c}$，則該雙曲線是黃金雙曲線；   
③若F₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90⁰，則該雙曲線是黃金雙曲線；  
④．若直線l經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
其中正確命題的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 ①求出雙曲線的離心率即可判斷命題正誤；
③通過點(diǎn)到直線的距離得出a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
③通過∠F₁B₁A₂=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
④利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出離心率，利用黃金雙曲線的定義判斷正誤．

解答 解：對(duì)于①，雙曲線x²-$\frac{{2{y^2}}}{{\sqrt{5}-1}}$=1中，c²=1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴c=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$，∴離心率e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$≠$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴該曲線不是黃金雙曲線，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上一點(diǎn)P（x₀，y₀）到兩條漸近線y=±$\frac{a}$x的距離積；
∴$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$•$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=$\frac{{{{|b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{-a}^{2}y}_{0}}^{2}|}{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{a^3}{c}$，
∴$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{3}}{c}$，即b²=ac，
∴c²-a²-ac=0，化為e²-e-1=0，
又e＞1，解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，∴該雙曲線是黃金雙曲線，②正確；
對(duì)于③，∵∠F₁B₁A₂=90°，∴${{{|B}_{1}F}_{1}|}^{2}$+${{{|B}_{1}A}_{2}|}^{2}$=${{{|F}_{1}A}_{2}|}^{2}$，
∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化為c²-ac-a²=0，
由②知該雙曲線是黃金雙曲線，③正確；
對(duì)于④，如圖所示，MN經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴$\frac{^{2}}{a}$=c，∴b²=ac，
由②知該雙曲線是黃金雙曲線，④正確；
綜上，正確命題序號(hào)是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線性質(zhì)的靈活運(yùn)用問題，也考查了a，b，c的關(guān)系以及離心率的應(yīng)用問題，是綜合性題目．