Question

2．已知隨機變量ξ_i滿足P（ξ_i=1）=p_i，P（ξ_i=0）=1-p_i，i=1，2．若0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，則（　　）

• A． E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）
• B． E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＞D（ξ₂）
• C． E（ξ₁）＞E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）
• D． E（ξ₁）＞E（ξ₂），D（ξ₁）＞D（ξ₂）

Answer 1

分析 由已知得0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜1-p₂＜1-p₁＜1，求出E（ξ₁）=p₁，E（ξ₂）=p₂，從而求出D（ξ₁），D（ξ₂），由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵隨機變量ξ_i滿足P（ξ_i=1）=p_i，P（ξ_i=0）=1-p_i，i=1，2，…，
0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜1-p₂＜1-p₁＜1，
E（ξ₁）=1×p₁+0×（1-p₁）=p₁，
E（ξ₂）=1×p₂+0×（1-p₂）=p₂，
D（ξ₁）=（1-p₁）²p₁+（0-p₁）²（1-p₁）=${p}_{1}-{{p}_{1}}^{2}$，
D（ξ₂）=（1-p₂）²p₂+（0-p₂）²（1-p₂）=${p}_{2}-{{p}_{2}}^{2}$，
D（ξ₁）-D（ξ₂）=p₁-p₁²-（${p}_{2}-{{p}_{2}}^{2}$）=（p₂-p₁）（p₁+p₂-1）＜0，
∴E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）．
故選：A．

點評 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．