Question

已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，在（0，+∞）上單調遞減，且f（

1

2

）f（-

3

）＞0，則方程f（x）=0的根的個數為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：用函數為奇函數得f（-

3

）=-f（

3

），又在（0，+∞）上單調遞減，所以函數f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個交點，再利用奇函數的性質可得必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個交點，即可得答案

解答： 解：由于函數是奇函數，且在（0，+∞）上單調遞減，
因此在（-∞，0）上單調遞減，
又因為f（

1

2

）＞0＞-f（-

3

）=f（

3

），
所以函數f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個交點，
必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個交點，
故方程f（x）=0的根的個數為2．
故答案為：2

點評：本題主考查抽象函數的單調性、對稱性以及奇偶性，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，而奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同．