Question

8．昌平區(qū)在濱河公園舉辦中學生冬季越野賽．按年齡段將參賽學生分為A，B，C三個組，各組人數(shù)如下表所示．組委會用分層抽樣的方法從三個組中選出6名代表．

組別	A	B	C
人數(shù)	100	150	50

（ I）  求A，B，C三個組各選出代表的個數(shù)；
（ II） 若從選出的6名代表中隨機抽出2人在越野賽閉幕式上發(fā)言，求這兩人來自同一組的概率P₁；
（ III）若從所有參賽的300名學生中隨機抽取2人在越野賽閉幕式上發(fā)言，設這兩人來自同一組的概率為P₂，試判斷P₁與P₂的大小關系（不要求證明）．

Answer 1

分析 （I）先求出樣本容量與總體容量的比，由此能求出A，B，C三個組各選出的代表的個數(shù)．
（II）設來自A，B，C三個組的代表分別為a₁，a₂，b₁，b₂，b₃，c．利用列舉法能求出這兩名代表來自同一組的概率．
（III）利用等可能事件概率計算公式能得到P₂＞P₁．

解答 （本小題滿分14分）
解：（I）因為樣本容量與總體容量的比是$\frac{6}{100+150+50}=\frac{1}{50}$，
所以A，B，C三個組各選出的代表的數(shù)量分別為：$100×\frac{1}{50}=2，150×\frac{1}{50}=3，50×\frac{1}{50}=1$．
所以A，B，C三個組各選出的代表的個數(shù)分別為2，3，1．…（4分）
（II）設來自A，B，C三個組的代表分別為a₁，a₂，b₁，b₂，b₃，c．
則從6名代表中任意取出兩人的所有結果所構成的基本事件空間：
Ω={（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，c），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₁，c），
（b₂，b₃），（b₂，c），（b₃，c）}，共15個基本事件．
記事件D=“抽出的兩個代表來自同一組”．
則D={（a₁，a₂），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）}，共4個基本事件．
所以這兩名代表來自同一組的概率${P_1}=\frac{4}{15}$．…（11分）
（III）P₂＞P₁．…（14分）

點評 本題考查概率的求法，考查分層抽樣的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．