Question

1．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=BC=3，CD=4，DA=8，則該圓的半徑為3．

Answer 1

分析 連接AC，在△ABC、△ACD中分別用由余弦定理求AC²，兩式右邊相等消去AC²，式子兩角是互補的，得出角的正弦值，可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直徑，除以2得半徑．

解答 解：連接AC，在△ABC中由余弦定理，得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=3²+3²-2×3×3cos∠ABC=18-18cos∠ABC，
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC
=4²+8²-2×4×8cos∠ADC=80-64cos∠ADC，
從而得18-18cos∠ABC=80-64cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=$\frac{31}{41}$
sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{205}}{41}$，AC=$\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{41}}$
所以2R=$\frac{\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{41}}}{\frac{2\sqrt{205}}{41}}$=3，
故答案為：3．

點評 本題兩次用到余弦定理，銜接點有兩處，一是有一條公共邊，二是式子中兩個角互補，圓內(nèi)接四邊形的對角補，要從圖中讀出，這點很重要；正弦定理記憶的時候要全面，它的比值是三角形外接圓的直徑，知道這一點，問題迎刃而解．