Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}，a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，列方程解方程可得公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可得等差數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，分類討論即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比數(shù)列．
可得a₅²=a₂a₆，
即為（-11+4d）²=（-11+d）（-11+5d），
解方程可得d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-11+2（n-1）=2n-13；
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=$\frac{1}{2}$n（a₁+a_n）=$\frac{1}{2}$n（2n-24）=n²-12n，
由a_n=2n-13，當(dāng)n≤6時(shí)，a_n＜0，當(dāng)n≥7時(shí)，a_n＞0．
b_n=|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
即有當(dāng)n≤6時(shí)，前n項(xiàng)和T_n=-S_n=12n-n²；
當(dāng)n≥7時(shí)，前n項(xiàng)和T_n=S_n-S₆-S₆=n²-12n-2×（-36）=n²-12n+72．
綜上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6，n∈N*}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7，n∈N*}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．