Question

6．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得MN關(guān)于直線y=e對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{2}{e}$，2e]．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，kx），則N（x，2e-kx），推導(dǎo)出k=-$\frac{2}{x}$lnx，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），
f（x）與g（x）的圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線y=e對(duì)稱，
∴設(shè)M（x，kx），則N（x，2e-kx），
∴2e-kx=2lnx+2e，∴k=-$\frac{2}{x}$lnx，
k′=$\frac{-2+2lnx}{{x}^{2}}$，由k′=0，得x=e，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e²，∴x∈[$\frac{1}{e}$，e）時(shí)，k′＜0，k=-$\frac{2}{x}$lnx是減函數(shù)；
x∈（e，e²]時(shí)，k′＞0，k=-$\frac{2}{x}$lnx是增函數(shù)，
∴x=e時(shí)，k=-$\frac{2}{e}$lne=-$\frac{2}{e}$；x=e²時(shí)，k=-$\frac{2}{{e}^{2}}$lne²=-$\frac{4}{{e}^{2}}$；x=$\frac{1}{e}$時(shí)，k=-$\frac{2}{\frac{1}{e}}$ln$\frac{1}{e}$=2e，
∴k_min=-$\frac{2}{e}$，k_max=2e．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{2}{e}$，2e]．
故答案為：$[-\frac{2}{e}，2e]$

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．