Question

11．設a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中項，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為9．

Answer 1

分析 $\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中項，可得4^a•2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$，2a+b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：$\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中項，∴4^a•2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$，∴2a+b=1．
又a＞0，b＞0，
則$\frac{2}{a}+\frac{1}$=（2a+b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}）$=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥5+2×$2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=9，當且僅當a=b=$\frac{1}{3}$時取等號．
則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．