【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=xln(ax)(a>0)
(1)設(shè)F(x)= 2+f'(x),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性;
(2)過(guò)兩點(diǎn)A(x1 , f′(x1)),B(x2f′(x2))(x1<x2)的直線的斜率為k,求證:

【答案】
(1)解:f′(x)=ln(ax)+1,所以 ,

函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),而

…(2分)

①當(dāng)lna≥0時(shí),即a≥1時(shí),恒有F′(x)≥0,函數(shù)F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

②當(dāng)lna<0,即0<a<1時(shí),令F′(x)>0,得(lna)x2+1>0,解得 ;

令F′(x)<0,得(lna)x2+1<0,解得 ;

綜上,當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)F(x)在 上為增函數(shù),在 上為減函數(shù).


(2)證明: = ,

要證 ,因?yàn)閤2﹣x1>0,

即證 ,令 ,則t>1,

則只要證

①設(shè)g(t)=t﹣1﹣lnt,則 ,

故g(t)在[1,+∞)上是增函數(shù).

所以當(dāng)t>1時(shí),g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt成立.

②要證 ,由于t>1,即證t﹣1<tlnt,

設(shè)h(t)=tlnt﹣(t﹣1),則h'(t)=lnt>0(t>1),

故函數(shù)h(t)在[1,+∞)上是增函數(shù),

所以當(dāng)t>1時(shí),h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt成立.

由①②知成立,得證


【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,化簡(jiǎn)F(x)= 2+f'(x),然后求解F(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性;(2)求出過(guò)兩點(diǎn)A(x1 , f′(x1)),B(x2f′(x2))(x1<x2)的直線的斜率k的表達(dá)式,利用分析法證明 .轉(zhuǎn)化為證明 ,通過(guò)左右兩個(gè)不等式,兩次構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值即可證明.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】下列說(shuō)法:①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變;②設(shè)有一個(gè)回歸方程=3-5x,變量x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加5個(gè)單位;③線性回歸方程x+必過(guò)(,);④曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系;⑤在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得K2=13.079,則其兩個(gè)變量之間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是________

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【題目】將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對(duì)滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2 , 有|x1﹣x2|min= ,則φ=( )
A.
B.
C.
D.

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【題目】函數(shù)f(x)=
(1)若a=5,求函數(shù)f(x)的定義域A;
(2)設(shè)B={x|﹣1<x<2},當(dāng)實(shí)數(shù)a,b∈B∩(RA)時(shí),求證: <|1+ |.

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【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),|AF|+|BF|=8.

(1)p的值.

(2)線段AB的垂直平分線lx軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.

(3)求直線l的斜率的取值范圍.

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【題目】某人事部門對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定80分以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失敗(滿分為100分).

(1)求圖中的值;

(2)估計(jì)該次考試的平均分 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表);

(3)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān).

晉級(jí)成功

晉級(jí)失敗

合計(jì)

16

50

合計(jì)

參考公式:,其中

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.

(1)求橢圓的方程;

(2)若C,D分別是橢圓的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P.證明:為定值.

(3)在(2)的條件下,試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP,MQ的交點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】閱讀右面的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入N的值為24,則輸出N的值為( 。

A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中點(diǎn),試在棱CC1上求一點(diǎn)P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

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