Question

2．如圖半圓柱OO₁的底面半徑和高都是1，面ABB₁A₁是它的軸截面（過(guò)上下底面圓心連線OO₁的平面），Q，P分別是上下底面半圓周上一點(diǎn)．
（1）證明：三棱錐Q-ABP體積V_Q-ABP≤$\frac{1}{3}$，并指出P和Q滿足什么條件時(shí)有AP⊥BQ
（2）求二面角P-AB-Q平面角的取值范圍，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件及圓柱性質(zhì)知平面A₁B₁Q到ABP的距離且為定值1，由半圓性質(zhì)∠APB=90°，所以AP²+BP²=4
所以由均值不等式s_△ABP=$\frac{1}{2}AP•BP≤\frac{A{P}^{2}+B{P}^{2}}{4}=1$．得V_Q-ABP=$\frac{1}{3}{s}_{△ABP}×h$≤$\frac{1}{3}$
由AP⊥PB可知，要有AP⊥BQ，只需要PQ⊥PA即可
（2）以O(shè)為原點(diǎn)、OA為x軸、OO₁為z軸建坐標(biāo)系作QN垂直于平面ABP于N，記∠AON=θ，θ∈[0，π]，A（1，O，O），B（-1，0，0），Q（cosθ，sinθ，0）
平面PAB法向量可取$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$
設(shè)平面ABQ的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，可取$\overrightarrow{m}=（0，-1，sinθ）$
θ∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{sinθ}{\sqrt{1+si{n}^{2}θ}}=\left\{\begin{array}{l}{0，（θ=0）}\\{\frac{1}{\sqrt{sinθ+\frac{1}{sinθ}}}}\end{array}\right.$即可求二面角P-AB-Q平面角的取值范圍

解答 解：（1）證明：V_Q-ABP=$\frac{1}{3}{s}_{△ABP}×h$，其中h是Q到平面ABP的距離，（由條件及圓柱性質(zhì)）即平面A₁B₁Q到ABP的距離且為定值1
由半圓性質(zhì)∠APB=90°，所以AP²+BP²=4
所以由均值不等式s_△ABP=$\frac{1}{2}AP•BP≤\frac{A{P}^{2}+B{P}^{2}}{4}=1$．
∴V_Q-ABP=$\frac{1}{3}{s}_{△ABP}×h$≤$\frac{1}{3}$
因?yàn)锳P⊥PB，要有AP⊥BQ，只需要PQ⊥PA即可！


（2）

如圖以O(shè)為原點(diǎn)、OA為x軸、OO₁為z軸建坐標(biāo)系作QN垂直于平面ABP于N，
記∠AON=θ，θ∈[0，π]
A（1，O，O），B（-1，0，0），Q（cosθ，sinθ，0）
平面PAB法向量可取$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$
設(shè)平面ABQ的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AQ}=（cosθ-1，sinθ，1）$，$\overrightarrow{BA}=（2，0，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=x（cosθ-1）+ysinθ+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BQ}=2x=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（0，-1，sinθ）$
∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{sinθ}{\sqrt{1+si{n}^{2}θ}}=\left\{\begin{array}{l}{0，（θ=0）}\\{\frac{1}{\sqrt{sinθ+\frac{1}{sinθ}}}}\end{array}\right.$
θ∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，sinθ+$\frac{1}{sinθ}$≥2．（當(dāng)sinθ=1時(shí)取等號(hào)）
|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
所以二面角P-AB-Q平面角的取值范圍是：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓柱的性質(zhì)，空間線面、線線位置關(guān)系，向量法求二面角的取值范圍，屬于難題．