Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．
（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時(shí)，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=ln（x﹣1）﹣x，x＞1，

f′（x）= ﹣1= ，

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，

當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，

故f（x）在（1，2）遞增，在（2，+∞）遞減

（2）解：由題意得：x≥1時(shí)，x+a＞0恒成立，故a＞﹣1，①，

不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

即 x2+ ﹣1＞0對(duì)任意的x≥1恒成立，

設(shè)g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，

g′（x）= ，

a≤0時(shí)，g（2）=a（2+ ）﹣1+ ＜0，不合題意，

a＞0時(shí)，要使x≥1時(shí)，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

只需g（1）=a（ + ）﹣1+ ＞0，即a＞ ，

a＞ 時(shí)，aexx﹣x+1﹣a=a（exx﹣1）+1﹣x＞ （exx﹣1）+1﹣x，

設(shè)h（x）= （exx﹣1）+1﹣x，x≥1，

h′（x）= exx+ ex﹣1，x≥1，

顯然h′（x）在（1，+∞）遞增，∴h′（x）＞h′（1）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）遞增，h（x）＞h（1）= ＞0，

即aexx﹣x+1﹣a＞0，②，

由①②得：a＞ 時(shí)，滿足題意

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 x2+ ﹣1＞0對(duì)任意的x≥1恒成立，設(shè)g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，通過(guò)求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．