Question

15．已知$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$α+β≠\frac{π}{2}，sinβ=sinαcos（{α+β}）$．
（1）用tanα表示tanβ；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式的左邊中的角β變?yōu)棣?β-α，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，移項(xiàng)整理后，在等式左右兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可得解．
（2）由（1）及基本不等式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinβ=sin（α+β-α）=cos（α+β）sinα，
即sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα，
移項(xiàng)得：sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosα，得：tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，可得：tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．
（2）∵$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴由（1）可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
即tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及基本不等式的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式及基本關(guān)系，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．