Question

4．已知f（x）=2+acos x（a≠0）．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）=2+acos x為偶函數(shù)．
（2）分a＞0、a＜0兩種情況，分別利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）利用周期函數(shù)的定義、余弦函數(shù)的周期性得出結論．

解答 解：（1）因為f（x）=2+acos x（a≠0）的定義域為R，且f（-x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）=2+acos x為偶函數(shù)．
（2）因為f（x）=cos x在[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）上是單調(diào)遞增的，在[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）上是減少的．
所以當a＞0時，f（x）=2+acos x的遞增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．
當a＜0時，f（x）=2+acos x的遞增區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，遞減區(qū)間為[2kπ-π，2kπ]，k∈Z．
（3）由f（x+2π）=f（x），且不存在0＜T＜2π，使f（x+T）=f（x）成立，
故f（x）=2+acos x的最小正周期為2π．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．