Question

20．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知${（{a_7}-1）^3}+2016（{a_7}-1）=-1$，${（{a_{2010}}-1）^3}+2016（{a_{2010}}-1）=1$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＜a₇
• B． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＞a₇
• C． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＜a₇
• D． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＞a₇

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性、奇偶性，由已知的兩等式求出f（a₄-1）、f（a₂₀₁₀-1），由奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（1-a₂₀₁₀），由函數(shù)的單調(diào)性得到a₄-1=1-a₂₀₁₀即a₄+a₂₀₁₀=2，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式求出S₂₀₁₆，根據(jù)單調(diào)性判斷出a₇與a₂₀₁₀的大�。�

解答 解：令f（x）=x³+2016x，則f′（x）=3x²+2016＞0，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（x）為奇函數(shù)．
由條件得，f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，
即f（1-a₂₀₁₀）=-1，則a₇-1=1-a₂₀₁₀，從而a₇+a₂₀₁₀=2，
又等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
所以${S}_{2016}=\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{7}+{a}_{2010}）}{2}$=2016，
因為f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，f（x）在R上單調(diào)遞增，
所以a₂₀₁₀-1＞a₇-1，即a₂₀₁₀＞a₇，
故選：B．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和的公式的靈活應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了構(gòu)造函數(shù)、函數(shù)思想解決問題的能力，屬于中檔題．