Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點，M為直線x=-3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q．證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點N．（其中O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

分析 （I）由橢圓C的焦距為4，及等邊三角形的性質(zhì)和a²=b²+c²，求得a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為N（x₀，y₀），k_MF=-m，設(shè)直線PQ的方程為x=my-2，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，結(jié)合三點共線的方法：斜率相等，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=2，
短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形，可得
a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，即有a=$\sqrt{3}$b，a²-b²=4，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中點為N（x₀，y₀），k_MF=-m，
由F（-2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2，
代入橢圓方程可得（m²+3）y²-4my-2=0，
即有y₁+y₂=$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
于是N（-$\frac{6}{3+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$），
則直線ON的斜率k_ON=-$\frac{m}{3}$，
又k_OM=-$\frac{m}{3}$，
可得k_OM=k_ON，
則O，N，M三點共線，即有OM經(jīng)過線段PQ的中點．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運用，注意聯(lián)立直線方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題．