Question

13．下列結(jié)論：①函數(shù)y=sin$\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}$的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=$\frac{π}{3}$； ②△ABC中，若b=2asinB，則A等于30°；③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，則△ABC的面積S=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$；④sin70°cos40°cos60°cos80°=$\frac{1}{8}$，其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)，求得x=$\frac{π}{3}$時(shí)，y有最大值2判斷①正確；利用正弦定理化邊為角，進(jìn)一步求出A判斷②；解三角形求出△ABC的面積判斷③；利用倍角公式求出sin70°cos40°cos60°cos80°的值判斷④．

解答 解：①函數(shù)y=sin$\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}$=$2（\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{x}{2}）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，y有最大值2，∴函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=$\frac{π}{3}$，故①正確； 
②△ABC中，若b=2asinB，則A等于30°，則sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=$\frac{1}{2}$，則A=30°或150°，故②錯(cuò)誤；
③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，則由${7}^{2}={5}^{2}+^{2}-10b×（-\frac{1}{2}）$，得b=3，即AC=3，∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×5×3×sin120°$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，故③正確；
④sin70°cos40°cos60°cos80°=cos20°=cos20°cos40°cos60°cos80°=$\frac{1}{2}×$$\frac{2sin20°cos20°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin40°cos40°cos80°}{4sin20°}$=$\frac{2sin40°cos40°cos80°}{8sin20°}=\frac{sin80°cos80°}{8sin20°}$=$\frac{sin160°}{16sin20°}=\frac{1}{16}$，故④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．